IMBROGLIO ABSCISSATRON 1.0 - LE DVELOPPEMENT DE LA FORMULE QUADRATIQUE
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L'QUATION QUADRATIQUE
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Voici le dveloppement de la formule de l'quation quadratique (au deuxime degr) en utilisant la mthode de la compltion du carr (sqrt{} veut dire la racine carre de...) :

1. ax + bx + c           = 0
	forme gnrale de l'quation quadratique

2. ax + bx               = -c
	isoler le constant

3. (ax + bx)/a           = (-c)/a
	diviser l'quation par le coefficient du premier terme 'a'

4. x + (bx)/a            = (-c)/a

5. x + (bx)/a + [b/4a] = (-c)/a + [b/4a]
	additionner (b/2a) aux deux cts de l'quation

6. x + (bx)/a + [b/4a] = (-4ac + b)/4a
	simplifier l'expression  la droite

7. [x + (b/2a)]          = (-4ac+b)/4a
	factoriser l'expression  la gauche

8. sqrt{ [x + (b/2a)] }  = sqrt{ (-4ac + b)/4a }
	trouver les racines carres des deux cts de l'quation

9. [x + (b/2a)]           = sqrt{ (-4ac + b)/4a }

10. [x + (b/2a)]           = sqrt{ -4ac+b }/2a

11. x                      = -(b/2a) sqrt{ -4ac+b }/2a
	transporter (b/2a)  la droite pour isoler 'x'

12. x                      = (-b sqrt{ b-4ac }/2a
	additionner les fractions ensemble

Alors, on a isol la variable 'x' de [ax+bx+c=0]

Rsultat: x = (-b  sqrt{ b - 4ac })/2a


La partie (b-4ac) de cette formule s'appelle le discriminant. Il indique la nature des racines de l'quation quadratique.

d = (b-4ac)

i)   si d > 0 et 'd' est un carr parfait :
	les deux racines sont diffrentes et rationnelles (il y a deux abscisses  l'origine)

ii)  si d > 0 et 'd' n'est pas un carr parfait :
	les deux racines sont diffrentes et irrationnelles (il y a deux abscisses  l'origine)

iii) si d = 0 :
	les deux racines sont gales (il y a une seule abscisse  l'origine)

iv)  si d < 0 :
	les racines sont irrelles (il n'y a pas d'abscisse  l'origine)


C'est alors trs simple de trouver la somme et le produit des racines d'une quation quadratique :

Somme :
	[(-b + sqrt{ b - 4ac })/2a] + [(-b - sqrt{ b - 4ac })/2a]

	les racines carres se cancellent, alors il reste :
	= [-b/(2a)] + [-b/(2a)] = [(-2b)/(2a)] = [-b/a]

	Rsultat : -b/a

Produit :
	[(-b + sqrt{ b - 4ac })/2a] * [(-b - sqrt{ b - 4ac })/2a]
	= [(-b + sqrt{ b - 4ac }) * (-b - sqrt{ b - 4ac })]/[4a]
	= [b + b*sqrt{ b - 4ac } - b*sqrt{ b - 4ac } - (b-4ac)]/[4a]
	= [b-b+4ac]/[4a]
	= (4ac)/(4a)
	= c/a

	Rsultat : c/a
	

Sommaire :
	ax+bx+c=0
	ax+bx=-c
	(ax+bx)/a=-c/a
	x+(bx)/a=-c/a
	x+(bx)/a+b/4a=-c/a+b/4a
	x+(bx)/a+b/4a=(-4ac+b)/4a
	(x+b/2a)=(-4ac+b)/4a
	(x+b/2a)=sqrt((-4ac+b)/4a)
	(x+b/2a)=sqrt(-4ac+b)/2a
	x=-b/2asqrt(-4ac+b)/2a
	formule quadratique : x=[-bsqrt(b-4ac)]/2a

	somme des racines : -b/a
	produit des racines : c/a

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LA FONCTION QUADRATIQUE
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La fonction quadratique, en fonction de 'y', forme toujours une parabole.
Chaque fonction quadratique peut tre crite dans deux formes :

i)  la forme gnrale:			y = ax+bx+c
ii) la forme standard (canonique):	y = a(x-p)+q
	-> cette forme permet de facilement trouver l'information ncessaire pour tracer le graphique de la fonction

Voici la transformation d'une fonction quadratique de la forme gnrale dans la forme standard (!= veut dire n'est pas gale ... :

1. y = ax + bx + c

2. y = a[x + (bx)/a] + c
	diviser les deux premiers termes par 'a', et isoler le 'c'

3. y != a[x + (bx)/a + b/(4a)] + c
	crer un carr parfait

4. y = a[x + (bx)/a + b/(4a)] + c - a[b/(4a)]
	balancer la fonction

5. y = a[x + (b/2a)] + c - a[b/(4a)]
	simplifier

6. y = a[x + (b/2a)] + c - [ab/(4a)]

7. y = a[x + (b/2a)] + c - [b/(4a)]

8. y = a[x + (b/2a)] + [(4ac - b)/(4a)]

Alors, les valeurs de a, p et q sont :
	a = a
	p = -b/2a
	q = (4ac - b)/(4a)

Voici les dfinitions de ces valeurs dans cet contexte (comment elles changent la parabole originale) :
a ->
	i)   dtermine l'ouverture de la parabole
		* si a > 0 : la parabole ouvre vers le haut
		* si a < 0 : la parabole ouvre vers le bas

	ii)  dtermine l'tirement de la parabole sur l'ordonne
		* si 0 < a < 1 ou 0 > a > -1 : la parabole est comprime sur l'ordonne
		* si a > 1 ou a < -1         : la parabole est tire sur l'ordonne

p ->
	i)   dtermine l'emplacement horizontal de la parabole (la valeur de 'x' de son sommet est la valeur de 'p')
	ii)  l'quation de l'axe de symtrie de la parabole est x = p (il ne faut pas oublier que dans une fonction telle que y = s(x+t) + u, la valeur de 'p' est '-t'. (On doit prendre l'oppos du deuxime terme de l'expression multiplie par 'a'.)
	iii) dtermine quelle valeur de 'x' donne  la fonction sa valeur maximale ou minimale de 'y'

q ->
	i)   dtermine l'emplacement vertical de la parabole (la valeur de 'y' de son sommet est la valeur de 'q')
	ii)  dtermine la valeur maximale ou minimale de 'y' (c'est un maximum lorsque a < 0, et un minimum lorsque a > 0)

Alors, le sommet de la parabole est dfinie par les coordonnes (p,q) : sommet = [-b/2a , (4ac - b)/(4a)]

La valeur maximale ou minimale d'une fonction quadratique est : (4ac - b)/(4a)
Et, cette valeur de 'y' arrive lorsque 'x' est : -b/2a

Le domaine de la parabole est toujours dfinie par : {'x' appartient  l'ensemble de nombres rels}
Le co-domaine (image) de la parabole est toujours dfinie par : {y >= q} (si a > 0) ou {y <= q} (si a < 0)

Pour trouver les abscisses  l'origine de la parabole, on change la valeur de 'y'  0, puis on rsout l'quation quadratique. Pour trouver l'ordonne  l'origine de la parabole, on change la valeur de 'x'  o, puis on rsout l'quation linaire.

Les coordonnes du point de rflexion d'une parabole sont : [(2p) , (l'ordonn  l'origine)]

Sommaire :
	y=ax+bx+c
	y=a[x+(bx)/a]+c
	y!=a[x+(bx)/a+b/(4a)]+c
	y=a[x+(bx)/a+b/(4a)]+c-a[b/(4a)]
	y=a[x+(b/2a)]+c-a[b/(4a)]
	y=a[x+(b/2a)]+c-ab/(4a)
	y=a[x+(b/2a)]+c-b/(4a)
	y=a[x+(b/2a)]+(4ac-b)/(4a) -> y=a(x-p)+q

	y = a(x-p)+q
	a = a
	p = b/2a
	q = (4ac-b)/(4a)

	a : tirement/ouverture
	p : dplacement horizontal
	q : dplacement vertical & valeur maximale/minimale

	sommet = (p,q) = [-b/2a , (4ac-b)/(4a)]


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L'INVERSE DE LA FONCTION QUADRATIQUE
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Voici le dveloppement d'une formule pour trouver l'inverse de la fonction quadratique. (L'inverse d'une fonction F(x), F'(x), a la mme forme que la fonction originale, mais elle a subi un rabatement par la fonction linaire y=x.)

1. y = ax + bx + c
	la forme gnrale de la fonction quadratique

2. x = ay + by + c
	changer les valeurs de 'x' et 'y'

3. x = a[y + (b/a)y +c/a]
	sortir un facteur 'a'

4. x/a = y + (b/a)y + c/a
	diviser l'quation par le premier coefficient, 'a'

5. x/a = y + (b/a)y + b/(4a) + c/a - b/(4a)
	crer un carr parfait, et balancer l'quation

6. x/a + b/(4a) = [y + (b/a)y + b/(4a)] + c/a
	isoler le carr parfait  la droite

7. x/a + b/(4a) = (y + b/2a) + c/a

8. x/a + b/(4a) - c/a = [y + b/(2a)]

9. x/a + (b-4ac)/(4a) = [y + b/(2a)]
	simplifier

10. sqrt[x/a + (b-4ac)/(4a)] = y + b/(2a)
	trouver la racine carr de l'quation

11. sqrt[x/a + (b-4ac)/(4a)] - b/(2a) = y
	isoler 'y'

La fonction inverse de 'y = ax + bx + c' est alors de la forme : f-1(x) = sqrt[(x - q)/a] + p
	--> f-1(x) = sqrt{ [x + (b-4ac)/(4a)]/a } - b/(2a)

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